小明,與眾多小學(xué)作文、數(shù)學(xué)題和笑話的主角有相同的名字,無意中邂逅來自永恒世界的易,跟隨易從現(xiàn)實(shí)世界來到永恒世界,仿佛愛麗絲夢(mèng)游仙境一般,開始在算術(shù)山谷、幾何城、代數(shù)山一系列奇幻的游歷,經(jīng)歷了永恒世界數(shù)量與結(jié)構(gòu)的一場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng),小明也知道了自己從何而來……在體驗(yàn)永恒世界的過程中,他們的現(xiàn)實(shí)生活受到影響,小明卻發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活因?yàn)榕c永恒世界相互交錯(cuò)而發(fā)生了改變,小明到底是筆者的創(chuàng)造還是現(xiàn)實(shí)中的人物?虛擬和現(xiàn)實(shí)在哪里交接? 作者簡(jiǎn)介: 孫曉博,1970年出生,1992年本科畢業(yè)于北京大學(xué)技術(shù)物理系,同時(shí)獲哲學(xué)雙學(xué)士學(xué)位。畢業(yè)后曾在研究所、國(guó)家機(jī)關(guān)工作,后離職求學(xué),于2004年獲清華大學(xué)計(jì)算機(jī)技術(shù)工程碩士學(xué)位。 目錄: 一、生日 二、算術(shù)山谷 三、乘法 四、旅行 五、幾何城 六、方程 七、沖突 八、代數(shù)山 九、誰(shuí)主沉浮 十、尾聲 前言本書是一部有完整故事情節(jié)的文學(xué)作品,同時(shí)它又是一部講述數(shù)學(xué)的作品,以不太常見的人文視角談?wù)摂?shù)學(xué)及其哲理趣味。 文學(xué)尤其是故事類文學(xué)是所有人都喜愛且樂于接受的,數(shù)學(xué)就不那么討人喜歡了。實(shí)際上,對(duì)大多數(shù)人來說,數(shù)學(xué)常常意味著學(xué)生時(shí)代的一種挫折甚至是噩夢(mèng),無論是在初中、高中、大學(xué)、甚至研究生階段,皆有可能。即便不計(jì)較負(fù)面情緒,十多年學(xué)校教育之后,除了應(yīng)付日常生活的四則運(yùn)算外,數(shù)學(xué)在大多數(shù)人的心底幾乎沉淀不下什么有價(jià)值的東西。這對(duì)于將數(shù)學(xué)作為重中之重的學(xué)校教育來說,不啻是巨大的諷刺與悲劇。數(shù)學(xué)是被那些有悟性的人有意無意忘卻的一門學(xué)問,至多代之以咬牙切齒的反感與憎恨。 不能不說,這是一種深切的遺憾。在我看來,數(shù)學(xué)不但有用,還具有外表冷峻峭拔、內(nèi)在熱烈深沉的獨(dú)特之美,值得細(xì)細(xì)欣賞與沉思。當(dāng)然數(shù)學(xué)之美并不能輕易體驗(yàn)到,這種體驗(yàn)的過程有點(diǎn)像長(zhǎng)跑或攀巖之類的體育活動(dòng),看似枯燥艱苦,辛勞過后卻別有一種難以言說的身心愉悅和美好感受。只是,再乏味的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目都有大量粉絲,慢跑和暴走的粉絲絕不在少數(shù),而數(shù)學(xué)的粉絲卻乏善可陳。 從文化角度看,數(shù)學(xué)是我們這個(gè)文明古國(guó)相對(duì)欠缺的一種氣息,我們總是從實(shí)用的角度去對(duì)待它,而它的價(jià)值遠(yuǎn)不止于此。自古以來,我們中國(guó)的文人對(duì)于永恒與無限都不本書是一部有完整故事情節(jié)的文學(xué)作品,同時(shí)它又是一部講述數(shù)學(xué)的作品,以不太常見的人文視角談?wù)摂?shù)學(xué)及其哲理趣味。 文學(xué)尤其是故事類文學(xué)是所有人都喜愛且樂于接受的,數(shù)學(xué)就不那么討人喜歡了。實(shí)際上,對(duì)大多數(shù)人來說,數(shù)學(xué)常常意味著學(xué)生時(shí)代的一種挫折甚至是噩夢(mèng),無論是在初中、高中、大學(xué)、甚至研究生階段,皆有可能。即便不計(jì)較負(fù)面情緒,十多年學(xué)校教育之后,除了應(yīng)付日常生活的四則運(yùn)算外,數(shù)學(xué)在大多數(shù)人的心底幾乎沉淀不下什么有價(jià)值的東西。這對(duì)于將數(shù)學(xué)作為重中之重的學(xué)校教育來說,不啻是巨大的諷刺與悲劇。數(shù)學(xué)是被那些有悟性的人有意無意忘卻的一門學(xué)問,至多代之以咬牙切齒的反感與憎恨。 不能不說,這是一種深切的遺憾。在我看來,數(shù)學(xué)不但有用,還具有外表冷峻峭拔、內(nèi)在熱烈深沉的獨(dú)特之美,值得細(xì)細(xì)欣賞與沉思。當(dāng)然數(shù)學(xué)之美并不能輕易體驗(yàn)到,這種體驗(yàn)的過程有點(diǎn)像長(zhǎng)跑或攀巖之類的體育活動(dòng),看似枯燥艱苦,辛勞過后卻別有一種難以言說的身心愉悅和美好感受。只是,再乏味的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目都有大量粉絲,慢跑和暴走的粉絲絕不在少數(shù),而數(shù)學(xué)的粉絲卻乏善可陳。 從文化角度看,數(shù)學(xué)是我們這個(gè)文明古國(guó)相對(duì)欠缺的一種氣息,我們總是從實(shí)用的角度去對(duì)待它,而它的價(jià)值遠(yuǎn)不止于此。自古以來,我們中國(guó)的文人對(duì)于永恒與無限都不乏各種感慨,“念天地之悠悠,獨(dú)愴然而涕下”,“江畔何人初見月,江月何年初照人”,美則盡美,獨(dú)獨(dú)缺少了一絲理性與思辨的色彩,究其根源,或許是緣于數(shù)學(xué)精神的缺失。而我們的數(shù)學(xué)教育,一貫著重于解題訓(xùn)練的教育,也缺少了某些文化上的氣質(zhì)與筋骨。 相比那些厭惡數(shù)學(xué)的人來說,我屬于幸運(yùn)兒,數(shù)學(xué)是歷次考試提分的上善科目,所以我從未反感過它。因?yàn)槔砜茖W(xué)得好,我有幸進(jìn)入好的大學(xué),接受好的教育,然后去好的單位工作,在體制內(nèi)謀生的我活得安穩(wěn)而體面,雖然偶爾有些空虛。我那時(shí)對(duì)于數(shù)學(xué)并沒有更深刻的認(rèn)識(shí),對(duì)于我來說,數(shù)學(xué)只不過是一個(gè)更有用些的工具罷了。我的這個(gè)看法相信也是大多數(shù)理工科出身者的觀念。 也許是機(jī)緣巧合,也許是命中注定,十年前,當(dāng)我準(zhǔn)備信息技術(shù)領(lǐng)域的碩士畢業(yè)論文時(shí),我陷入到一個(gè)既迷人又實(shí)用的數(shù)學(xué)問題中。我的論文是關(guān)于數(shù)字指紋技術(shù)的,為了追查盜版,我希望找到這樣一種編碼,數(shù)量充足,且彼此之間差異度大。這些數(shù)字編碼作為數(shù)字指紋分別嵌入到視頻的不同拷貝中,在經(jīng)過壓縮之類的強(qiáng)噪聲環(huán)境后,這些數(shù)字指紋仍能生存下來,且彼此之間仍然保有良好的分辨度,這些存活下來的數(shù)字指紋將有助于追查和正確指認(rèn)盜版者。 為了找到這些性能良好的編碼,一個(gè)新的組合數(shù)學(xué)問題自然而然提出來了。起初我以為這個(gè)問題會(huì)有人研究過,因?yàn)檠芯繑?shù)學(xué)不需要復(fù)雜的裝備,所以其發(fā)展通常是超前的而且大幅度超前于時(shí)代。例如現(xiàn)在大學(xué)的主干課程、工程技術(shù)中普遍使用的微積分,是前輩數(shù)學(xué)家二百年多前就已準(zhǔn)備好的研究成果。然而遺憾的是,查閱各種數(shù)學(xué)典籍,請(qǐng)教多位數(shù)學(xué)專家,我都未能找到這個(gè)組合數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)成答案。 要知道,在呈現(xiàn)組合爆炸的編碼中,窮舉式的查找是不可能的。我當(dāng)時(shí)計(jì)劃尋找的是僅有33個(gè)不同符號(hào)的編碼,這些編碼共有33!≈1036之多。我需要從這些浩如煙海的編碼中,尋找到33*32*31=32736個(gè)性能好的準(zhǔn)正交碼。這個(gè)難度比大海撈針毫不遜色。 怎么辦?一種執(zhí)著的、鉆牛角尖的勁頭被激發(fā)出來。在解決這個(gè)問題的過程中,從試探、猜想到證明,我的心靈經(jīng)歷了一場(chǎng)酣暢淋漓的洗禮,一種刻骨銘心的歡樂,以及由此帶來的種種感悟。我找到的這32736個(gè)編碼,其實(shí)是由區(qū)區(qū)三個(gè)編碼通過反復(fù)的置換運(yùn)算生成的。這三個(gè)編碼我稱為種子,因?yàn)槲ㄓ羞@些內(nèi)在排列次序精準(zhǔn)的種子才能孕育出全部高差異度編碼,其次序之微妙,堪稱失之毫厘謬以千里。這使我聯(lián)想到諸多事物,如人類與猩猩之間僅有1%的DNA差異,卻造成這兩個(gè)物種的天地之別,而那些為人類發(fā)展做出杰出貢獻(xiàn)的偉人,我相信他們的內(nèi)在品質(zhì)也如同種子一樣,精微曼妙。尋找這些種子的整個(gè)思想過程,如同居里夫人從幾噸的瀝青礦物中提煉出0.1克閃閃發(fā)光的鐳,艱辛而幸福。 這是我找到的三個(gè)種子(需要從置換群的角度去理解): S1:(1)(2)(3456789101112131415161718192021222324252627282930313233) S2:(1)(23)(417)(531)(68)(728)(913)(1019)(1122)(1227)(1426)(1523)(1633)(1825)(2021)(2430)(2932) S3:(12)(333)(432)(531)(630)(729)(828)(927)(1026)(1125)(1224)(1323)(1422)(1521)(1620)(1719)(18) 有心人不妨嘗試用這三個(gè)種子進(jìn)行置換乘法,將生成全部32736個(gè)編碼,任意兩個(gè)編碼之間,至多只有兩個(gè)位置上的數(shù)字相同。不知你是否覺得神奇? 這樣一個(gè)心靈歷程讓我對(duì)數(shù)學(xué)有了嶄新的認(rèn)知,數(shù)學(xué)中的各種對(duì)象在我眼前變得鮮活起來,栩栩如生,各有性情。領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的內(nèi)在之美成為我生活中的樂趣之一。多年以后,歷經(jīng)世事的我渴望將這種感悟傳達(dá)給他人。我深信,理解這種感悟的人,將對(duì)這個(gè)世界有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。如果有更多的人理解數(shù)學(xué)的底蘊(yùn),世界將變得更加文明、更加秩序井然。 我對(duì)數(shù)學(xué),起初跟大多數(shù)人的感受一樣,因有用而信任,然后又因信任而喜愛。最終也許走得稍微遠(yuǎn)了些,意識(shí)到數(shù)學(xué)不僅僅是有用,不僅僅值得信任與喜愛,它還值得欣賞,閃耀著藝術(shù)的美與和諧,同時(shí)又具有無可比擬的正確性。關(guān)鍵的是,這種正確性并非一目了然,需要調(diào)動(dòng)我們的智慧,陶然耕耘其中才能體會(huì)到。而不同的數(shù)學(xué)對(duì)象之間,往往又有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。這真是一幅奇妙的場(chǎng)景。 我愿意相信,很可能存在著高于我們這個(gè)物理世界的絕對(duì)正確與完善的世界,并非純粹主觀思維的產(chǎn)物,而是客觀實(shí)在的真理。這種信念,已經(jīng)不屬于數(shù)學(xué)本身了,而是一種哲學(xué)。但我認(rèn)為哲學(xué)對(duì)于理解數(shù)學(xué)本身也很有幫助,至少會(huì)是一種趣味,一種幽默。我力圖形象地展示心目中的那個(gè)世界,于是有了這樣一部文學(xué)性作品。它不是講述數(shù)學(xué)中的一道道趣題、一樁樁奇聞?shì)W事,而是小心翼翼地展開一個(gè)帶有我個(gè)人情感的完整的故事,在故事中揭示數(shù)學(xué)世界一些我認(rèn)為最重要的對(duì)象的秉性,并將其與我們的現(xiàn)實(shí)世界相映成趣。如果這個(gè)故事能引起人們對(duì)于數(shù)學(xué)與哲學(xué)的興趣和探究心,我將感到莫大的榮幸與欣慰。 孫曉博 2014年北京 一生日 當(dāng)太陽(yáng)已經(jīng)落山的時(shí)候,小明還在小區(qū)附近的公園里閑逛,不愿回家。這是個(gè)春天的傍晚,夕陽(yáng)雖已隱沒在山的那一頭,天邊仍有萬(wàn)丈霞光。奇怪的是,這樣一個(gè)天氣晴朗的周末,卻沒有一個(gè)小朋友跟他一起在這里玩耍。小明一個(gè)人玩著、等著,略有遺憾,但仍然興致勃勃地看看這個(gè)、碰碰那個(gè),最后爬到一座土堆上。這個(gè)公園里有很多起伏的土堆,可有些不太平凡——上邊建有圍合的城墻,小明上來的就是這種。據(jù)說此地是元朝——地球上曾經(jīng)存在過的疆域最大的國(guó)家——都城遺址,故修建些城墻以示紀(jì)念。說是城墻,也太過簡(jiǎn)陋,只是勉強(qiáng)有個(gè)凹凸的垛子形狀,表意而已。這里是小明喜歡的地方,抬頭望去視野遼闊,低頭則又看到花木濃蔭。曾有幾個(gè)大學(xué)生路過此地,把這城墻說成是方波發(fā)生器。小明聽到后回家問爸爸什么是方波發(fā)生器,爸爸說那是一種電子設(shè)備,能產(chǎn)生正-負(fù)-正-負(fù)或者說1-0-1-0波形的電壓,電壓隨時(shí)間的變化就像方形的鋸齒一樣?墒欠叫武忼X波能用來干什么,小明不知道。 在太陽(yáng)落山的方向,西方天空的顏色變化引起了他的關(guān)注。他以前從未注意過晚霞有如此豐富的色調(diào)。媽媽以前騎車帶著他的時(shí)候,經(jīng)常提醒他去看天上的彩云、深藍(lán)的天幕等自然氣象,他那時(shí)總是抬頭隨便看一眼,目光隨后就轉(zhuǎn)移到路邊的景物上。這一次,他對(duì)天空有了完全不同的感受。他注意到晚霞色彩的變化,從溫暖的金黃、橙紅,漸次過渡到清冷的淺藍(lán)、深藍(lán),絢麗豐富,彼此交織,廣闊無邊,有一種他從未體驗(yàn)過的美感。 公園里有一條小河,有不少大人在河邊散步,老人居多。小明聽爸爸說,這條河基本是死水,并不算是真正的河流,只能算是一條狹長(zhǎng)的池塘。最糟糕的是這里以前經(jīng)常泛著臭氣,夏天的時(shí)候尤其嚴(yán)重,很少有人來這里閑逛。托奧運(yùn)會(huì)的福,這條所謂的河流得到脫胎換骨的治理,雖然仍是幾乎一池死水,但水質(zhì)變得澄清,岸邊也栽花種草、鋪路建亭,變成一個(gè)人人愛去的休閑場(chǎng)所。 再過一個(gè)月是小明10歲的生日。孩子對(duì)生日總是很期待,小明也不例外,早早就惦記上。爸爸媽媽說要送給他一個(gè)特別的生日禮物,他現(xiàn)在還不知道是什么。這個(gè)禮物真的會(huì)有什么特別嗎?小明有一種隨遇而安的個(gè)性,對(duì)禮物并不是特別在意,他更喜歡過生日的那種歡樂氣氛,還有好吃的生日蛋糕。 昨晚吃飯的時(shí)候,爸爸媽媽問他:“你很快就要十歲了,你想要什么生日禮物?” “什么都可以,你們送什么我都會(huì)很高興! 爸爸笑著問:“那你最想要什么?” “什么都可以要嗎?” “是啊,你想要什么,只要我們能做到,都會(huì)考慮!卑职终f。 “就算爸爸媽媽做不到,知道你的愿望也好啊!眿寢屟a(bǔ)充道。 “那我想要一顆天上的星星?梢詥幔俊毙∶鳑]想好要什么,就開了個(gè)玩笑。 “哦,你抬頭看窗外,我宣布,你看到的那些星星都是你的啦。”爸爸也開個(gè)玩笑。 “這也可以?”小明抬頭看著那些星星,“那我怎么得到它們呢?” “你以后直接去摘就好,就跟去大棚摘草莓差不多。”媽媽笑著說,“也許星星比草莓更好吃呢! “爸爸媽媽特別送給你一顆中子星,它可是世界上你能看見的最重的東西,當(dāng)然也就是最重要的東西了。”爸爸也笑著說,“但你不能拿著它,會(huì)壓壞你的手! “我倒。星星那么大,我可摘不了!毙∶鹘又l(fā)揮,“要不就給我一個(gè)地上的猩猩也成。它們挺可愛的!睅讉(gè)人一起笑,享受著愉快祥和的時(shí)光。 此刻的小明坐在城墻垛子上,回想著昨晚關(guān)于星星的笑話,注意到晚霞的色彩越來越暗淡,整個(gè)天空都變得深藍(lán),星星真的開始出現(xiàn)。他抬頭看著天空和那些星星,突然意識(shí)到,只有向上的方向是沒有邊界的,可以無窮無盡,其他方向都有限度——地球就這么大。而向上又是最困難的,他努力向上跳,也只能離開地面很短的距離,而且一轉(zhuǎn)眼就落回來。 遼闊的星空頭一次引起他強(qiáng)烈的好奇和幻想。如果能一直向上走,會(huì)發(fā)生什么?離開地球、離開太陽(yáng)系、離開銀河系、離開所有的天體,將到達(dá)哪里? 小明曾想象,最遠(yuǎn)最遠(yuǎn)的天邊,可能是銅墻鐵壁,將宇宙所有的一切緊緊包裹其中。如果是這樣,那銅墻鐵壁外面,又會(huì)是什么? 小明想起《西游記》的一個(gè)情節(jié):孫悟空跟如來佛打賭,要跳出他的手心,結(jié)果孫悟空飛到天邊,看到五個(gè)肉紅色柱子,撐著一股青氣,孫悟空認(rèn)為這就是天的盡頭,撒了泡尿就回去了。小明很喜歡琢磨這段故事。他在設(shè)想,如果孫悟空飛得再遠(yuǎn)些,飛出五個(gè)柱子之外,會(huì)發(fā)生什么?孫悟空顯然還能飛得更遠(yuǎn),他是自己停下來的,并沒有什么東西擋住他。如果能飛得更遠(yuǎn)些,一定會(huì)看到完全不同的景象。可那會(huì)是什么景象呢? 小明不知道,他這番奇思異想,已經(jīng)在遙遠(yuǎn)不可捉摸的天界之外,激蕩起不大不小的漣漪。那是個(gè)浩瀚而飄渺的非物質(zhì)世界,氣象萬(wàn)千,存在各種各樣的神靈,有些正準(zhǔn)備到物質(zhì)世界游歷。其中有一個(gè)非常古老的數(shù)字精靈,正在他那個(gè)世界的天幕一角觀察地球的形形色色。這朵思想的小水花引起了他的興趣,于是細(xì)細(xì)察看。 “如此深思者,竟然還是個(gè)少年,真是孺子可教。我正準(zhǔn)備下界尋人做些開啟點(diǎn)化,此人可列入我的備忘錄中。”他自言自語(yǔ),又點(diǎn)點(diǎn)頭,然后縱身一躍,轉(zhuǎn)眼即飛入凡間。
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