《算術(shù)研究》是被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯的第一部杰作，該書寫于1797年，1801年正式出版，這是一部用拉丁文寫成的巨著，是數(shù)論的最經(jīng)典及最具權(quán)威性的著作。在隨后的200年時(shí)間中被翻譯成多國(guó)文字，如德文、英文、俄文等。這部著作在數(shù)學(xué)中的重要地位不亞于《圣經(jīng)》在基督教中的地位，只有歐幾里得的《幾何原本》堪與之相比，因?yàn)楦咚褂幸痪涿裕骸皵?shù)學(xué)是科學(xué)的女皇，數(shù)論是數(shù)學(xué)的女皇�！边@部著作共七篇。
第一篇討論一般的數(shù)的同余：并首次引進(jìn)了同余記號(hào)，這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中無(wú)處不在的等價(jià)和分類概念出現(xiàn)在代數(shù)中的最早的意義重大的例子。
第二篇討論一次同余方程：其中嚴(yán)格證明了算術(shù)基本定理。
第三篇討論冪的同余式：此篇詳細(xì)討論了高次同余式。
第四篇“二次同余方程”意義非同尋常：因?yàn)槠渲薪o出了二次互反律的證明，有人統(tǒng)計(jì)到21世紀(jì)初，二次互反律的證明已經(jīng)超過(guò)200種，其中柯西、雅可比、迪利克雷、艾森斯坦、劉維爾、庫(kù)默爾、克羅內(nèi)克、戴德金、瓦萊－布桑、希爾伯特、弗羅貝尼烏斯、斯蒂爾切斯、M?里斯、韋伊都給出了新證法，可見(jiàn)問(wèn)題之重要。
第五篇是“二次型與二次不定方程”在這一篇中關(guān)于二次型的特征的研究，標(biāo)志著群特征標(biāo)理論的肇始，使高斯成為群論的先驅(qū)者之一。
第六篇把前面的理論應(yīng)用到各種特殊情形，并引入了超越函數(shù)。
第七篇是“分圓方程”，不少人認(rèn)為此篇是《算術(shù)研究》的頂峰。
《算術(shù)研究》當(dāng)時(shí)對(duì)于數(shù)學(xué)家也很難讀，它曾被稱為“七印封嚴(yán)之書”（這是西方人對(duì)難解之書喜用的詞，近于中國(guó)人所謂的“天書”，典出《圣經(jīng)?啟示錄》第五章第一節(jié)：“我看見(jiàn)坐寶座的右手中有書卷，里外都寫著書，用七印封嚴(yán)了”）后來(lái)迪利克雷作了詳細(xì)注釋。此書簡(jiǎn)潔完美的風(fēng)格多少減慢了它的傳播速度，而最終當(dāng)富有才華的年輕人開(kāi)始深入研讀它時(shí)，由于出版商的破產(chǎn)，又買不到它了，甚至高斯最喜歡的學(xué)生艾森斯坦從未能擁有一本，有些學(xué)生不得不從頭到尾抄錄全書。
作者簡(jiǎn)介：
作者：（德國(guó)）高斯 譯者：潘承彪 張明堯
潘承彪，1938年生于江蘇省蘇州市，1960年畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系數(shù)學(xué)專業(yè)，1961年起在北京農(nóng)業(yè)機(jī)化學(xué)院（后改名為北京農(nóng)業(yè)工程大學(xué)、中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)）工作，從1977年起同時(shí)在北京大學(xué)數(shù)學(xué)系工作。主要從事數(shù)學(xué)，特別是數(shù)論的教學(xué)科研工作。與胞兄潘承洞合著有《哥德巴赫猜想》、《解析數(shù)論基礎(chǔ)》、《素?cái)?shù)定理的初等證明》、《代數(shù)數(shù)論》、《初等數(shù)論》及《模形式導(dǎo)引》等。
張明堯，1945年12月生于山東省菏澤市，1967年畢業(yè)于安徽大學(xué)數(shù)學(xué)系，1981年獲得碩士學(xué)位后在安徽大學(xué)工作；1987年獲得博士學(xué)位后在中國(guó)科技大學(xué)工作；1994年調(diào)海南大學(xué)工作；1996年調(diào)上海華東理工大學(xué)工作。譯著有《數(shù)論中未解決的問(wèn)題（第二版）》（原著者R.K.Guy）、《純數(shù)學(xué)教程(紀(jì)念版)》（原著者G.H.Hardy）以及《哈代數(shù)論(第六版)》（原著者G.H.Hardy以及E.M.Wright修訂者D.R.Heath-Brown以及J.H.Silverman）等。
目錄：
第一篇 數(shù)的同余 第1～12目
1 同余的數(shù)，模，剩余及非剩余 第1～3目
2 最小剩余 第4目
3 關(guān)于同余的若干基本定理 第5～11目
4 若干應(yīng)用 第12目
第二篇 一次同余方程 第13～44目
5 關(guān)于素?cái)?shù)、因數(shù)等的若干預(yù)備定理 第13～25目
6 一次同余方程的解 第26～31目
7 對(duì)若干個(gè)給定的模，求分別同余于給定的剩余的數(shù)的方法 第32～36目
8 多元線性同余方程組 第37目
9 若干不同的定理 第38～44目
第三篇 冪剩余 第45～93目
10 首項(xiàng)為1的幾何數(shù)列的各項(xiàng)的剩余組成周期序列 第45～48目
首先討論素?cái)?shù)模 第49～81目
11 當(dāng)模為素?cái)?shù)p時(shí)，周期的項(xiàng)數(shù)是p-1的除數(shù) 第49目
12 Fermat定理 第50～51目
13 對(duì)應(yīng)的周期的項(xiàng)數(shù)等于p-1的給定的除數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù) 第52～56目
14 原根，基，指標(biāo) 第57目
15 指標(biāo)的運(yùn)算 第58～59目
16 同余方程xn≡A的根 第60～68目
17 不同系統(tǒng)的指標(biāo)間的關(guān)系 第69～71目
18 為特殊應(yīng)用選取基 第72目
19 求原根的方法 第73～74目
20 關(guān)于周期和原根的幾個(gè)不同的定理 第75～81目
（Wilson定理） 第76～78目
合數(shù)模的討論 第82～93目
21 模為素?cái)?shù)冪 第82～89目
22 模為2的方冪 第90～91目
23 由若干個(gè)素?cái)?shù)合成的模 第92～93目
第四篇 二次同余方程 第94～152目
24 二次剩余和非剩余 第94～95目
25 若模是素?cái)?shù)，則在小于模的數(shù)中剩余的個(gè)數(shù)等于非剩余的個(gè)數(shù) 第96～97目
26 合數(shù)是否是給定素?cái)?shù)的剩余或非剩余的問(wèn)題依賴于它的因數(shù)的性質(zhì) 第98～99目
27 合數(shù)模 第100～105目
28 給定的數(shù)是給定素?cái)?shù)模的剩余或非剩余的一般判別法 第106目
以給定的數(shù)為其剩余或非剩余的素?cái)?shù)的討論 第107～150目
29 剩余-1 第108～111目
30 剩余+2和-2 第112～116目
31 剩余+3和-3 第117～120目
32 剩余+5和-5 第121～123目
33 剩余+7和-7 第124目
34 為一般討論做準(zhǔn)備 第125～129目
35 用歸納方法來(lái)發(fā)現(xiàn)一般的(基本)定理及由其推出的結(jié)論 第130～134目
36 基本定理的嚴(yán)格證明 第135～144目
37 用類似方法證明第114目中的定理 第145目
38 一般問(wèn)題的解法 第146目
39 以給定的數(shù)為其剩余或非剩余的全體素?cái)?shù)的線性表示式 第147～150目
40 其他數(shù)學(xué)家關(guān)于這些研究的工作 第151目
41 一般形式的二次同余方程 第152目
第五篇 二次型和二次不定方程 第153～307目
42 研究計(jì)劃；型的定義及符號(hào) 第153目
43 數(shù)的表示；行列式 第154目
44 數(shù)M由型(a,b,c)來(lái)表示時(shí)所屬的表示式2-ac (mod M)的值第155～156目
45 一個(gè)型包含另一個(gè)型，或包含在另一個(gè)型之中；正常及反常變換 第157目
46 正常等價(jià)及反常等價(jià) 第158目
47 相反的型 第159目
48 相鄰的型 第160目
49 型的系數(shù)的公約數(shù) 第161目
50 給定的一個(gè)型變?yōu)榱硪粋�(gè)型的所有可能的同型變換之間的關(guān)系 第162目
51 歧型 第163目
52 與同時(shí)既是正常地又是反常地包含在另一個(gè)型中的型有關(guān)的定理 第164目
53 由型表示數(shù)的一般性研究以及這些表示與變換的聯(lián)系 第166～170目
54 行列式為負(fù)的型 第171～181目
55 特殊的應(yīng)用：將一個(gè)數(shù)分解成兩個(gè)平方數(shù)，分解成一個(gè)平方數(shù)和另一個(gè)平方數(shù)的兩倍，分解成一個(gè)平方數(shù)和另一個(gè)平方數(shù)的三倍 第182目
56 具有正的非平方數(shù)行列式的型 第183～205目
57 行列式為平方數(shù)的型 第206～212目
58 包含在另一個(gè)與之不等價(jià)的型之中的型 第213～214目
59 行列式為零的型 第215目
60 所有二元二次不定方程的一般整數(shù)解 第216～221目
61 歷史注記 第222目
關(guān)于型的進(jìn)一步研究 第223～265目
62 給定行列式的型的分類 第223～225目
63 類劃分成層 第226～227目
64 層劃分成族 第228～233目
65 型的合成 第234～244目
66 層的合成 第245目
67 族的合成 第246～248目
68 類的合成 第249～251目
69 對(duì)給定的行列式，在同一個(gè)層的每一個(gè)族中都有同樣多個(gè)類 第252目
70 不同的層中各個(gè)族所含類的個(gè)數(shù)的比較 第253～256目
71 歧類的個(gè)數(shù) 第257～260目
72 對(duì)于給定的行列式，所有可能的特征有一半不能適合于任何正常本原(當(dāng)行列式為負(fù)數(shù)時(shí)，還是定正的)族 第261目
73 基本定理以及與剩余-1,+2,-2有關(guān)的其他定理的第二個(gè)證明 第262目
74 精確地確定不能適合于族的那一半特征 第263～264目
75 分解素?cái)?shù)成兩個(gè)平方數(shù)的特殊方法 第265目
76 三元型研究雜談 第266～285目
對(duì)于二元型理論的某些應(yīng)用 第286～307目
77 怎樣求一個(gè)型，由它的加倍可以得到主族中一個(gè)給定的二元型 第286目
78 除了在第263和264目中已經(jīng)證明其不可能的那些特征之外，其他所有的特征都與某個(gè)族相對(duì)應(yīng) 第287目
79 數(shù)及二元型分解為三個(gè)平方的理論 第288～292目
80 Fermat定理的證明：任何整數(shù)可以分解成三個(gè)三角數(shù)或者分解成四個(gè)平方數(shù) 第293目
81 方程ax2+by2+cz2=0的解 第294～295目
82 Legendre講述基本定理的方法 第296～298目
83 由任意的三元型表示零 第299目
84 二元二次不定方程的有理通解 第300目
85 族的平均個(gè)數(shù) 第301目
86 類的平均個(gè)數(shù) 第302～304目
87 正常本原類的特殊算法；正則和非正則的行列式，等 第305～307目
第六篇 前面討論的若干應(yīng)用 第308～334目
88 將分?jǐn)?shù)分解為若干個(gè)較簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù) 第309～311目
89 普通分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù) 第312～318目
90 用排除法解同余方程x2≡A 第319～322目
91 用排除法解不定方程mx2＋ny2=A 第323～326目
92 A為負(fù)數(shù)時(shí)同余方程x2≡A的另一種解法 第327，328目
93 判別合數(shù)與素?cái)?shù)及尋求合數(shù)的因數(shù)的兩個(gè)方法 第329～334目
第七篇 分圓方程 第335～366目
94 討論可歸結(jié)為把圓分為素?cái)?shù)份的最簡(jiǎn)單情形 第336目
95 關(guān)于弧(它由整個(gè)圓周的一份或若干份組成)的三角函數(shù)的方程；把三角函數(shù)歸結(jié)為方程xn-1=0的根 第337～338目
關(guān)于方程xn-1=0的根的理論（假定n是素?cái)?shù)） 第339～354目
96 若不計(jì)根1，則全部其余的根(Ω)是屬于方程X=xn-1+xn-2+…+x+1=0 第339～340目
97 函數(shù)X不能分解為系數(shù)均為有理數(shù)的因式的乘積 第341目
98 進(jìn)一步討論的目的的說(shuō)明 第342目
99 Ω中的所有的根可分為若干個(gè)類(周期) 第343目
100 關(guān)于Ω中根組成的周期的幾個(gè)的定理 第344～351目
101 基于以上討論解方程X=0 第352～354目
進(jìn)一步討論根的周期 第355～360目
102 有偶數(shù)項(xiàng)的和是實(shí)數(shù) 第355目
103 把(Ω)中的根分為兩個(gè)周期的方程 第356目
104 第四篇中提到的一個(gè)定理的證明 第357目
105 把(Ω)中的根分為三個(gè)周期的方程 第358目
106 把求Ω中的根的方程化為最簡(jiǎn)方程 第359～360目
以上研究在三角函數(shù)中的應(yīng)用 第361～364目
107 求對(duì)應(yīng)于(Ω)中每個(gè)根的角的方法 第361目
108 不用除法從正弦與余弦導(dǎo)出正切，余切，正割及余割 第362目
109 逐次降低關(guān)于三角函數(shù)的方程次數(shù)的方法 第363，364目
110 利用解二次方程或幾何作圖方法可實(shí)現(xiàn)的圓周的等分 第365，366目
補(bǔ)記
附表
譯者注
附錄 高斯——數(shù)學(xué)王者 科學(xué)巨人
1 德國(guó)情勢(shì)
2 貧寒之家
3 心算神童
4 學(xué)院三載
5 大學(xué)攻讀
6 出手不凡
7 科學(xué)隨記
8 博士論文
9 算術(shù)探索
10 一算成名
11 戀愛(ài)結(jié)婚
12 公爵之死
13 喪妻再娶
14 天文著作
15 輝煌十年
16 大地測(cè)量
17 曲面理論
18 非歐幾何
19 物理研究
20 教學(xué)工作
21 政治風(fēng)波
22 晚年生活
23 業(yè)余愛(ài)好
24 人際關(guān)系
25 工作風(fēng)格
26 溘然長(zhǎng)逝
27 高斯全集
注
人名索引
人名譯名表
編輯手記
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